Nga paradokset e Zenonit, ai që të ngacmon më shumë imagjinatën njihet me emrin “Akili dhe Breshka” dhe mund të përmblidhet kështu:
Në qoftë se Akili dhe Breshka bëjnë një garë ku Breshka ka një farë avantazhi fillestar (të themi 10 metra, për një distancë vrapimi prej 400 metrash), atëherë Akili sado shpejt të rendë nuk mund ta kalojë madje as ta arrijë kurrë Breshkën – sepse kur Akili mbërrin në pikën ku ishte Breshka në fillim të garës (le ta quajmë A), kjo do të ketë ecur pak përpara dhe mbërritur pikën B; dhe kur Akili mbërrin në pikën B, Breshka do të ketë përparuar deri në C. Megjithëse distancat A-B, B-C, C-D, D-E e kështu me radhë vijnë duke u zvogëluar, ato nuk bëhen kurrë zero. Ergo, Akili mund t’i afrohet shumë Breshkës, por nuk do t’ia kalojë dot.
Ky është paradoksi. Në praktikë të gjithë e dimë se Akili mund ta arrijë Breshkën pa problem. Se si dhe pse ndodh kjo dhe pse paradoksit të Zenonit vazhdojnë t’i kushtohen studime të shumta, kjo nuk përbën objekt të këtij shkrimi: ka të bëjë me të kuptuarit filozofik të lëvizjes (motion).
Megjithatë, ekziston një skenar ku Akili vërtet nuk arrin ta kalojë Breshkën – dhe pikërisht, në një botë drejtvizore, ose njëpërmasore. Në këtë botë, në qoftë se Breshka gjendet më afër Finishit se Akili në momentin kur fillon gara, atëherë ajo do të mbërrijë e para në Finish pavarësisht nga sa shpejt zvarritet ajo dhe sa shpejt vrapon tjetri.
Figura 1: Akili dhe Breshka garojnë në një univers drejtvizor, njëpërmasor, të pafundmë.
Kjo ngaqë në një botë njëpërmasore, Akili fizikisht nuk mund ta parakalojë Breshkën. Diçka e ngjashme me çfarë ndodh në një rrugë të ngushtë malore, ku Ferrari-t tonë i del përpara një kamion. Në këtë situatë, edhe sikur kamioni të ecë me 1 km/h, Ferrari nuk e parakalon dot – meqë nuk ka vend.
Por na duhet të bëjmë, megjithatë, disa sqarime. Së pari, të dallojmë midis opsionit ku Breshka mund t’ia hapë rrugën Akilit por thjesht nuk dëshiron (kjo do të ishte një botë njëpërmasore me një përmasë të dytë mikroskopike – le ta përfytyrojmë këtë botë si tub të hollë); dhe opsionit tjetër ku Breshka nuk ka kurrfarë aksesi në përmasën e dytë (gjerësi) dhe ku parakalimi është i pamundshëm sepse dy trupa nuk mund të okupojnë të njëjtën hapësirë.
Për lehtësi arsyetimi, le të pranojmë edhe që në pistën e vrapimit nuk ka atletë të tjerë dhe as kalimtarë të rastit ose pengesa.
Në këtë botë drejtvizore, një garë midis Breshkës dhe Akilit mund të japë dy rezultate: (1) Breshka fiton dhe (2) Breshka lodhet ose humb interesin dhe e lë garën përgjysmë, ndërsa Akili mbetet me gisht në gojë; sepse Breshka gjithsesi ose nuk dëshiron t’ia hapë rrugën, ose nuk mundet për arsye “stereometrike.”
Duke lënë mënjanë versionin ku Breshkës i vjen keq për të birin e Peleut dhe vendos që t’ia hapë rrugën, do të na duhet të saktësojmë se në universin një-përmasor gara të tilla nuk do të kishin shumë kuptim. Meqë në pistën e atjeshme të vrapimit nuk ka vend që dy ose më shumë atletë të startojnë njëkohësisht, atëherë nisja do të bëhet e shkallëzuar; ashtu rendi i nisjes do të përkojë detyrimisht me rendin e mbërritjes – dhe rezultati i çdo gare vrapimi mund të vendoset pastaj thjesht me short (kjo mund të tingëllojë absurde, por ndodh më shpesh se ç’kujtojmë, në disa gara të Formula Uno, ku cirkuitet janë të tilla që e bëjnë praktikisht të pamundur parakalimin; dhe prandaj fitorja shpesh përcaktohet nga rendi i nisjes, d.m.th. nga rezultatet kronometrike të provave); ose, përndryshe, çdo garë do të bëhet vetëm me kronometrim.
Le të bëjmë edhe një saktësim tjetër: arsyetimi ynë deri më tash vlen për një univers drejtvizor të pafund: vërtet të pafund, mirëfilli të pafund – ose që ka trajtë drejtëze të kulluar, që zgjatet pafundësisht në të dy skajet.
Përkundrazi, nëse këto skaje, gjithë duke u zgjatur pafundësisht, puqen mes tyre në mënyrë të rrjedhshme dhe të pakuptueshme, për të përftuar një rreth ose strukturë topologjikisht ekuivalente me rrethin – si në ilustrimin më poshtë – atëherë na duhet ta rivështrojmë krejt arsyetimin.
Figura 2: Akili dhe Breshka garojnë në një univers drejtvizor njëpërmasor të mbyllur.
Nëse rrethi është relativisht i madh, në krahasim me “banorët” dhe “objektet” e këtij universi, atëherë mundemi që – lokalisht – ta konsiderojmë universin në fjalë si identik me universin drejtvizor të mirëfilltë dhe të pafund (diçka të ngjashme bëjmë kur, për distanca të vogla, e marrim sipërfaqen e Tokës për krejt horizontale dhe nuk presim që, gjatë një ndeshjeje futbolli, topi të rrokulliset në fushë sipas kurvaturës së globit).
Ky identitet do të qëndronte, në praktikë, edhe sikur banorët e atjeshëm të kenë arritur ta matin “kurvaturën” e drejtëzës së tyre dhe të kenë zbuluar që universi i tyre është (pakëz) i lakuar.
Atëherë, gara mes Breshkës dhe Akilit, në nivel lokal, do të zhvillohet si në rastin e universit drejtvizor të pafund të mirëfilltë; dhe Akili nuk do ta parakalojë dot Breshkën, sado që të mundohet. Shpejtësia e dy atletëve, edhe në këtë skenar, nuk luan asnjë rol, sa kohë që Breshka nuk mundet ose nuk dëshiron që t’ia hapë krahun Akilin.
Mirëpo mund të ndodhë edhe që Akili, pasi të ketë zbuluar me mjetet e veta që ky univers është jo vetëm i lakuar por edhe i mbyllur, të ndjekë një strategji tjetër: në vend që të ndjekë Breshkën nga pas, pa pasur shpresë se do të mund ta parakalojë, ai mund të niset në kah të kundërt dhe t’i bjerë universit rrotull, si në figurën më poshtë.
Figura 3: Akili ndjek një strategji alternative për të arritur në finish para Breshkës.
Me kusht që një univers i tillë të ketë për banorë vetëm dy atletët në garë (le të mos e ndërlikojmë arsyetimin me hipotezën e përmasave mikroskopike dhe vullnetin e banorëve për t’i hapur rrugë njërit atlet ose tjetrit; dhe le të pranojmë që kahu i të vrapuarit në garë, orar ose kundërorar, nuk është pjesë e rregullave të lojës), Akili ashtu do të mund të arrijë në pikën e Finishit pavarësisht nga çfarë ndodh me Breshkën që është nisur para tij. Nëse ky marifet do ta lejojë heroin këmbëshpejtë ta fitojë garën apo jo, kjo varet nga (1) diferenca në shpejtësi midis atij dhe Breshkës dhe (2) diferenca në distancë midis Startit dhe Finishit, sipas kahut të garës dhe Startit dhe Finishit sipas kahut të kundërt, ose atij që zgjedh të ndjekë Akili.
Në një univers njëpërmasor të fundmë, të mbyllur dhe mjaftueshëm të vogël, Akili ka shanse sado inifinitezimale për të fituar.
Ky lloj universi nuk ka nevojë të jetë doemos rrethor; mjaft të jetë i lakuar dhe i mbyllur. Banorët e tij njëpërmasorë, si Akili dhe Breshka, mund ta “provojnë” fundësinë dhe mbyllësinë e tij duke i ardhur rrotull, me vrap ose me zvarritje – diçka si ajo që bëri Magellan-i me Tokën; ose duke lëshuar një rreze drite në një drejtim, për ta marrë në drejtimin tjetër; por nuk mund ta shohin formën e universit të tyre, e cila mund të jetë edhe eliptike, ose si 8, ose një zorrë uji e përdredhur rastësishëm në bahçe.
Sa më lart janë thjesht përsiatje të miat, prej amatori të paradokseve. I bindur se ka lexues të blogut që do të gjejnë të çara dhe pasaktësi në arsyetimet – por shpresoj jo gafa se atëherë do të kisha humbur kohën tuaj dhe timen – do t’i ftoja që merrnin pjesë në këtë “eksperiment mendimi” me kontributet e tyre.
Paradoksi i Akilit dhe breshkës më ka ngacmuar edhe mua gjithmonë imagjinatën.
Sikurse ti XhaXha e di, edhe Borhesi i pat kushtuar kësaj teme një sprovë të mrekullueshme, në fund të së cilës dilte pak a shumë në konkluzionin e paqenësisë së kohës, cituar nga kujtesa kjo e fundit, – pasi më duhet të zbres në bodrum për të gjetur librin e tij e nuk ka edhe pse, në fund të fundit, – pasi tema e shkrimit tënd nuk është sprova e Borhesit, por tema e esesë së tij.
Në paradoksin tënd ti merr si të dhënë një botë, një univers drejtvizor, njëpërmasor, ku edhe Akili e breshka, për pasojë, nuk mund të qenë tjetër veçse pika në një drejtëz, pika që lëvizin me shpejtësi të ndryshme, pavarësisht nga kahu në të cilin rendin.
Por le ta shohim ca më afër kushtin që ti vë: njëpërmasinë.
Siç ti e di, një drejtëz mund të përkufizohet, parë nga këndvështrimi gjeometrik në dy forma: nga këndvështrimi euklidian dhe ai llobaçevskian, ku ky i fundit ndryshon nga i pari veçse nga vënia në dyshim e aksiomës, mbi të cilën ngrihet gjithë gjeometria euklidiane, aksiomë që merr të dhënë pa vërtetim pohimin se dy drejtëza paralele nuk priten, ndërkohë që në gjeometrinë llobaçevskiane ato priten në pafundësi.
Deri këtu jemi brenda dy shembujve që ti ke parashtruar në shkrimin tënd: në të parin logjika jote është euklidiane, në të dytin llobaçevskiane.
Çfarë do t’i shtoja unë gjithë kësaj do të qe:
Një drejtëz, si e tillë, mund të shihet jo vetëm nga ana gjeometrike si e tillë, porse edhe ajo numerike.
Le të përfytyrojmë një drejtëz që lidh makrokozmosin (Akili) dhe mikrokozmosin (breshka), e cila në fund të fundit, i bie të jetë bosht trigonometrik, numerik, i cili në njërën anë synon përkah pafundësia e në tjetrën kah zeroja.
Nëse në një bosht të tillë shtojmë edhe logjikën llobaçevskiane atëherë do të arrinim në përfundimin se ky bosht, kjo drejtëz, do të pritej diku në pafundësi me veten e saj, mirëpo forma e kësaj prerjeje nuk do të kish se si të ishte e mbyllur përfare, domethënë e qarkët, porse ndoshta një fjongo mëbius nëse do të qe medoemos escheriane, e mbase thjesht një fjongo, një kravatë, si të thuash, që pritet diku në mes, me skaje të pafund.
Ja edhe sugjerimi im për Akilin:
Le të përfytyrojmë një univers drejtvizor, por drejtvizor llobaçevskian e jo euklidian, në të cilin si breshka, ashtu edhe Akili nisen prej finishit, që i bie të ndodhet diku midis zeros dhe infinitit; breshka merr kahun për nga zeroja, Akili drejt pafundësisë.
Aksiomë e kësaj gjeometrie është, siç dihet, pohimi se drejtëzat paralele priten në pafundësi, e meqënëse ka dy të tilla, një pafundësisht të madhe e një tjetër pafundësisht të vogël, atëherë do i binte që edhe drejtëza si e tillë, ose më mirë: kahjet e saj në të dy krahët, të pritet(n) diku në mes, pasi edhe vetë drejtëza është paralele e vetvetes; ajo që ndryshon është veç kahu i lëvizjes, dialektika me një fjalë.
Duke qenë se edhe finishi, nga u nisën breshka dhe Akili në rendjen e tyre në kahje të përkundërta, gjendet gjëkundi në linjë e duke qenë se breshkës i duhet të zvarritet gjithnjë e më pak e Akilit të rendë gjithnjë e më shumë për të mbërritur aty ku u nisën, prej finishit-start për të mbërritur po aty, do i binte që gara jo vetëm të mbaronte barazim, por ndoshta, duke shtuar pak Ajnshtajn dhe relativitetin e kohës në raport me pafundësinë e hapësirës në një univers drejtvizor; pra, do i binte që gara të mbaronte ende pa filluar, madje ndoshta të kish ngjarë para se të niste.
Në thelb, parë nga këndvështrimi i fizikës moderne, Akili mund të qe Ajnshtajni dhe breshka Maks Planku; nga njëra anë kemi teorinë e relativitetit, nga ana tjetër teoritë për thërrmijat elementare e që ngjajnë, deri më sot, të papajtueshme njëra me tjetrën, ndonëse të dyja janë tashmë të vërtetuara dhe, për pasojë, të vërteta. Përpjekja e fizikanëve të sodit për të gjetur një teori të përbotshme, e cila nuk do përjashtonte as Ajnshtajni e as Plankun, por do i përmbante të dy shpjegimet: atë të makrokozmosit e atë të mikrokozmosit, ngjan të dështojë pikërisht prej subjektit shqyrtues, madhësisë relative, përmasës së vetë njeriut.
Rekomandoj këtu, për ta mbyllur filmin fantastiko-shkencor “Interstellar”, ku provohet, me anë të spekulimit me cilësitë e një vrime të zezë, të bëhet një spagatë mes dy botëve, e ku i bie, në fund të fundit, që Akili dhe breshka janë e njëjta gjë.
Ndoshta për të arritur në përfundimin:
“Në një univers njëpërmasor të fundmë, të mbyllur dhe mjaftueshëm të vogël, Akili ka shanse sado inifinitezimale për të fituar.”
na duhet ta përcaktojmë apo kualifikojmë akoma më ngushtë këtë univers. Le të shpjegohem.
Së pari duhet konsideruar “koha”. Është “koha” një përmasë apo dimesion në të njëjtin rrafsh me përmasën një-dimensionale që përkufizon universin në fjalë? Apo “koha” është një dimension i dytë në këtë univer? Si rrjedh koha në këtë univers? Nëse koha nuk rrjedh në mënyrë të njëtrajtëshme a vazhdon të qëndrojë pyetja se kush do të arrijë i pari në finish? Mund të ndodhë që Breshka apo Akili të bjerë në një “vrimë” kohore dhe të rishfaqet diku tjetër në mënyrë të papërcaktur ose të përcaktuar nga ligjet e ndërveprimit të dimensionin “kohë”, dimensionit “gjeometrik”, shpejtësisë, masës, energjisë dhe kush e di sa çfarë parametrash të tjerë që veprojnë në këtë univers!
Mund të vazhdohet edhe me përsiatje të tjera po mund të themi që një qëndrim skeptik apo agnostik fare i pa pëlqyeshëm për kompani bastesh mund të ishte i logjikshëm karshi paradoksit të Zenos të modifikuar nga 2Xhai.